Спектр состояний струны
(Некоторые идеи этого и нескольких следующих разделов довольно нетривиальны, так что читателя не должно смущать то, что какие-то логические звенья в цепочке объяснений могут оказаться непонятными (особенно при первом чтении) Прим. перев.)
Возможность новых конфигураций намотанной струны означает, что у энергии струны во вселенной Садового шланга есть два источника: колебательное движение и намотка (топологический вклад). Согласно Калуце и Клейну, каждый тип энергии зависит от геометрии шланга, т.е. радиуса свернутой циклической компоненты, но эта зависимость имеет ярко выраженный «струнный» характер, так как точечные частицы не могут наматываться вокруг измерений. Поэтому попытаемся сначала определить точную зависимость топологических и колебательных вкладов в энергию струны от размера циклического измерения. Для этого удобно разделить колебательные движения струны на две категории: однородные и обычные колебания. Обычные колебания неоднократно рассматривались выше (например, колебания, иллюстрация которых приведена на рис. 6.2). Однородные колебания соответствуют еще более простому движению, а именно поступательному движению струны как целого, когда она скользит из одного положения в другое без изменения формы. Все движения струны являются суперпозициями поступательных движений и осцилляции, т. е. суперпозициями однородных и обычных колебаний, однако сейчас нам удобнее рассматривать такое разделение движений струны. На самом деле обычные колебания играют второстепенную роль в наших рассуждениях, и поэтому их вклады будут учтены лишь после изложения сути наших доводов.
Отметим два существенных наблюдения. Во-первых, энергия однородных колебательных возбуждений струны обратно пропорциональна радиусу циклического измерения. Это является прямым следствием соотношения неопределенностей в квантовой механике. При меньших радиусах струна локализована в меньшем объеме, и поэтому энергия ее движения больше. Следовательно, при уменьшении радиуса циклического измерения энергия движения струны обязательно растет, что объясняет указанную обратно пропорциональную зависимость. Во-вторых, как выяснено в предыдущем разделе, топологические вклады в энергию прямо пропорциональны радиусу, а не обратно пропорциональны ему. Из этих двух наблюдений следует, что ббльшие значения радиуса соответствуют большим значениям топологической энергии и малым значениям колебательной энергии, а малые значения радиуса соответствуют малым значениям топологической энергии и большим значениям колебательной энергии.
В итоге получается важнейший результат: всякому большому радиусу вселенной Садового шланга соответствует некий малый радиус, при котором топологические энергии струны, вычисленные для вселенной с большим радиусом, равны колебательным энергиям струны, вычисленным для вселенной с малым радиусом, а колебательные энергии струны, вычисленные для вселенной с большим радиусом, равны топологическим энергиям струны, вычисленным для вселенной с малым радиусом. Но поскольку физические свойства зависят лишь от полной энергии конфигурации струны, а не от того, как эта энергия распределена между колебательным и топологическим вкладами, нет никакого физического различия между этими геометрически различными состояниями вселенной Садового шланга. А поэтому, что может показаться достаточно странным, в теории струн нет никакой разницы между вселенной толстого Садового шланга и вселенной тонкого Садового шланга.
Все это можно назвать «космическим страхованием сделки», что, в определенной мере, аналогично действиям вкладчика небольшого капитала, столкнувшегося со следующей дилеммой. Предположим, он узнал, что судьба акций одной компании (например, производящей тренажеры) неразрывно связана с судьбой акций другой компании (например, производящей сердечные клапаны для шунтирования). Допустим, что по завершении сегодняшних торгов акции каждой компании стоили по одному доллару, и из авторитетного источника известно, что если акции одной компании пойдут вверх, то акции другой компании упадут вниз, и наоборот. Кроме того, этот абсолютно надежный источник (деятельность которого, однако, может быть не очень-то законной) утверждает, что при завершении завтрашних торгов цены на акции этих двух компаний гарантированно будут обратно пропорциональны друг другу. Например, если одни акции будут стоить $2, то другие — $ 1/2 (50 центов), а если одни будут стоить $10, то другие — $1/10 (10 центов), и т.д. Однако какие именно акции пойдут вверх, а какие упадут в цене, источник сказать не может. Как поступить в такой ситуации?
Что же, вкладчик немедленно инвестирует все свои капиталы на биржевой рынок, распределив их в равных долях между акциями двух компаний. Сделав несколько оценок, легко убедиться, что капитал не уменьшится вне зависимости от того, что произойдет на рынке завтра. В худшем случае капитал не изменится (если акции обеих компаний по завершении торгов будут стоить $1), но любое изменение стоимости акций по известной от источника схеме приведет к увеличению вклада. Например, если акции первой компании будут стоить $4, а акции второй компании будут стоить $ 1/4 (25 центов), то их суммарная стоимость будет равна $4,25 (за каждую пару акций) против $2 накануне торгов. Более того, с точки зрения чистой прибыли совершенно не важно, акции какой компании выросли в цене, а какой компании упали. Если вкладчика волнуют только деньги, два различных исхода неразличимы в финансовом отношении.
Ситуация в теории струн аналогична в том смысле, что энергия струнных конфигураций есть сумма двух вкладов — колебательного и топологического, и эти вклады в полную энергию, вообще говоря, различны. Однако, как подробно обсуждается ниже, определенные пары разных геометрических состояний, соответствующие большой топологической/малой колебательной энергии и малой топологической/большой колебательной энергии, являются физически неразличимыми. И, в отличие от примера из области финансов, в котором при выборе между двумя видами акций могли бы играть роль соображения, отличные от соображений максимальной выгоды, здесь не существует совершенно никакого физического различия между двумя сценариями.
Как станет ясно далее, для более полной аналогии с теорией струн следует рассмотреть случай, когда начальное капиталовложение распределяется неравномерно между акциями двух компаний, например, покупается 1 000 акций первой компании и 3 000 акций второй компании. Теперь полная итоговая стоимость будет зависеть от того, какие акции упадут в цене, а какие вырастут. Например, если акции первой компании будут стоить $10, а акции второй — 10 центов, то начальное капиталовложение $4 000 вырастет до $10 300. Если случится противоположное, т.е. акции первой компании будут стоить 10 центов, а акции второй — $10, то капиталовложение вырастет до $30 100, что значительно больше.
Однако обратная зависимость цен акций гарантирует следующее. Если другой вкладчик распределяет капиталовложения прямо противоположным образом, т. е. покупает 3000 акций первой компании и 1 000 акций второй компании, то в результате он получит $10 300 в случае роста акций второй компании (ту же сумму, которую получит первый вкладчик в случае роста акций первой компании) и $30 100 в случае роста акций первой компании (снова ту же сумму, которую получит первый вкладчик в противном случае). Таким образом, с точки зрения полной стоимости акций обмен типов поднявшихся и упавших в цене акций в точности компенсируется обменом числа акций каждой из двух компаний.
Приняв к сведению последнее наблюдение, снова обратимся к теории струн и рассмотрим возможные энергии струны на конкретном примере. Предположим, что радиус циклического измерения вселенной Садового шланга в 10 раз больше планковской длины. Запишем это в виде формулы R = 10. Струна может быть намотана вокруг этого измерения один раз, два раза, три раза и т. д. Число оборотов струны вокруг циклического измерения называют топологическим числом (Английский термин winding number переводят по-разному: «число намоток», «индекс намотки», «топологический индекс», «топологическое число» и т.д. Мы будем переводить его как «топологическое число», подчеркивая связь с различными конфигурациями струны, которые нельзя получить одну из другой путем непрерывной деформации. — Прим. перев.) струны. Энергия, обусловленная намоткой струны, определяется длиной намотанной струны и пропорциональна произведению радиуса на топологическое число. Кроме того, любая струна способна совершать колебательные движения. Интересующие нас сейчас энергии однородных колебаний обратно пропорциональны радиусу, т. е. пропорциональны произведению целочисленных множителей на обратный радиус 1/R, равный, в данном случае, одной десятой планковской длины. Мы будем называть эти целочисленные множители колебательными числами2).
Видно, что ситуация очень напоминает ситуацию на фондовой бирже. При этом топологические и колебательные числа являются непосредственными аналогами количеств купленных акций двух компаний, a R и \/R играют роль цен на акции каждой компании по завершении торгов. Вычислить полную энергию струны, зная колебательное число, топологическое число и радиус, так же просто, как вычислить стоимость капиталовложения, исходя из количества акций каждой компании и стоимости акций после завершения торгов. В табл. 10.1 приведен ряд результатов для полных энергий различных конфигураций струн в случае вселенной Садового шланга радиуса R = 10.
Полная таблица была бы бесконечно длинной, так как топологические и колебательные числа могут принимать произвольные целые значения, однако представленный фрагмент таблицы достаточен для обсуждения. Из таблицы видно, что она соответствует ситуации больших топологических вкладов и малых колебательных вкладов: топологические вклады кратны 10, а колебательные вклады кратны 1/10.
Таблица 10.1
Выборочные колебательные и топологические конфигурации струны, движущейся во Вселенной с радиусом R = 10 (рис. 10.3). Колебательные вклады в энергию кратны 1/10, а топологические вклады кратны 10. В результате получаются перечисленные значения полной энергии. Единицей измерения энергии является планковская энергия, т. е., например, 10,1 в правом столбце соответствует значению 10,1, умноженному на планковскую энергию
Таблица 10.2
Аналогична табл. 10.1, но значение радиуса выбрано равным 1/10
Таблица 10.1Таблица 10.2
Колебательное числоТопологическое числоПолная энергияКолебательное числоТопологическое числоПолная энергия
111/10+ 10= 10,11110+1/10= 10,1
121/10 + 20 = 20,!1210 + 2/10= 10,2
131/10 + 30 = 30,11310 + 3/10= 10,3
141/10 + 40 = 40,11410 + 4/10= 10,4
212/10+10= 10,22120+1/10 = 20,1
222/10 + 20 = 20,22220 + 2/10 = 20,2
232/10 + 30 = 30,22320 + 3/10 = 20,3
242/10 + 40 = 40,22420 + 4/10 = 20,4
313/10+ 10= 10,33130+1/10 = 30,1
323/10 + 20 = 20,33230 + 2/10 = 30,2
333/10 + 30 = 30,33330 + 3/10 = 30,3
343/10 + 40 = 40,33430 + 4/10 = 30,4
414/10+ 10= 10,44140+ 1/10 = 40,1
424/10 + 20 = 20,44240 + 2/10 = 40,2
434/10 + 30 = 30,44340 + 3/10 = 40,3
444/10 + 40 = 40,44440 + 4/10 = 40,4
Предположим теперь, что радиус циклического измерения сужается, скажем, с 10 до 9,2, затем до 7,1 и далее до 3,4, 2,2, 1,1, 0,7 и т.д. до 0,1 (1/10), где, в нашем примере, процесс сужения прекращается. Для такой геометрически иной формы вселенной Садового шланга можно построить аналогичную таблицу энергий струн. В ней топологические вклады кратны 1/10, а колебательные вклады кратны обратному значению, т.е. 10. Результаты сведены в табл. 10.2.
На первый взгляд может показаться, что таблицы совершенно различны. Но при более пристальном рассмотрении видно, что в столбцы полной энергии в обеих таблицах входят одинаковые элементы, хотя они и расположены в разном порядке. Чтобы найти элемент табл. 10.2, соответствующий данному элементу табл. 10.1, нужно просто поменять местами топологическое и колебательное число. Иными словами, колебательные и топологические вклады взаимно дополняют друг друга при изменении радиуса циклического измерения с 10 до 1/10. Поэтому с точки зрения полных энергий струн нет различия между этими двумя размерами циклического измерения. Как обмен типов акций в точности компенсировался обменом числа акций каждой из двух компаний, так и замена радиуса 10 на 1/10 в точности компенсируется заменой топологических и колебательных чисел. Кроме того, значения начального радиуса R — 10 и его обратного значения 1/10 выбраны в данном примере лишь для простоты, и результат будет тем же для любого радиуса3).
Табл. 10.1 и 10.2 не полны по двум причинам. Во-первых, как указано выше, здесь выбраны лишь некоторые из бесконечного набора колебательных и топологических чисел, возможных для струны. Это, разумеется, не является серьезной проблемой — мы могли бы строить таблицу до тех пор, пока не иссякнет терпение, и убедились бы, что указанное свойство продолжает оставаться справедливым. Во-вторых, кроме топологического вклада в энергию мы до сих пор учитывали лишь однородные колебания струны. Сейчас необходимо учесть и обычные колебания, так как они дают дополнительный вклад в полную энергию струны и, кроме того, определяют переносимый струной заряд. Здесь важно отметить, что исследования свидетельствуют о независимости этих вкладов от радиуса. Поэтому, даже если эти вклады были бы включены в табл. 10.1 и 10.2, таблицы все равно точно соответствовали бы друг другу, так как обычные колебательные вклады учитывались бы в каждой таблице совершенно одинаковым образом. Следовательно, можно заключить, что массы и заряды частиц во вселенной Садового шланга радиусом R идентичны массам и зарядам частиц во вселенной Садового шланга радиусом \/R. А так как именно эти массы и заряды управляют фундаментальными физическими законами, нет никакого физического различия между двумя геометрически различными вселенными. Результаты любого эксперимента в одной вселенной и соответствующего эксперимента в другой вселенной будут в точности совпадать.